Chcemy poznać prędkość obiektu, który porusza się ze zmienną prędkością. Mamy informację, jaką drogę przebył w każdym czasie między chwilą \( 0 \) i \( T \). Obiekt przez pewien czas przyśpieszał, poruszał się ze stałą prędkością, zwalniał, zatrzymywał się,... Jeżeli policzymy iloraz drogi przebytej w czasie \( T \) przez czas \( T \), to otrzymamy jedynie prędkość średnią, która słabo opisuje, jak poruszał się obiekt w rzeczywistości. Oczywiście możemy podzielić czas na mniejsze przedziały czasowe. Im mniejsze będą te przedziały czasowe, tym lepiej prędkość średnia przybliży nam rzeczywistą prędkość osiągniętą przez obiekt w tym krótszym czasie. Ideałem byłoby znać dokładną wartość prędkości w każdej chwili z osobna, czyli prędkość średnią zmierzoną przy długości przedziału czasu dążącej do zera.
I właśnie tak uzyskaną prędkość w danej chwili nazwiemy pochodną drogi względem czasu. Prędkość w danej chwili \( t_0 \) będzie zatem graniczną wartością prędkości średnich obliczonych w przedziale czasowym \( [t_0, t] \) lub \( [t, t_0] \), o ile \( \Delta t=t-t_0 \) dąży do zera ( \( t \) - inny moment czasu). Analogicznie możemy policzyć jak zmienia się inna wielkość w zależności od zmiany czasu i nie tylko, ponieważ pochodna opisuje, jak zmienia się wartość funkcji w stosunku do zmiany jej argumentu, gdy zmiana argumentu dąży do zera.
Zanim zdefiniujemy pochodną funkcji, określmy najpierw czym na osi liczbowej jest otoczenie punktu \( x_0\in \mathbb{R} \).
Definicja 1: Otoczenie punktu
Niech \( x_0\in \mathbb{R} \).
Otoczeniem punktu \( x_0 \) o promieniu \( \varepsilon>0 \) nazywamy przedział \( (x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon) \) i oznaczamy przez \( O(x_0,\varepsilon) \).
Otoczeniem lewostronnym punktu \( x_0 \) o promieniu \( \varepsilon>0 \) nazywamy przedział \( (x_0-\varepsilon,x_0] \) i oznaczamy przez \( O(x_0^-,\varepsilon) \).
Otoczeniem prawostronnym punktu \( x_0 \) o promieniu \( \varepsilon>0 \) nazywamy przedział \( [ x_0, x_0+\varepsilon) \) i oznaczamy przez \( O(x_0^+,\varepsilon) \).
Gdy promień otoczenia nie jest istotny (czyli może być dowolną liczbą dodatnią), powyższe otoczenia oznaczamy odpowiednio przez \( O(x_0) \), \( O(x_0^-) \), \( O(x_0^+) \).
Przejdźmy do definicji pochodnej funkcji jednej zmiennej w punkcie.
Niech \( x_0\in \mathbb{R} \) oraz funkcja \( f \) będzie określona w otoczeniu \( O(x_0) \).
Pochodną (właściwą) funkcji \( f \) w punkcie \( x_0 \) nazywamy granicę właściwą
\( \lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}. \)
Pochodną funkcji \( f \) w punkcie \( x_0 \) oznaczamy przez \( f^{\prime} (x_0) \) lub też przez: \( \frac{df}{dx}(x_0) \), \( \dot{f}(x_0) \), \( Df(x_0) \).
Zatem
\( f^{\prime} (x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}. \)
Uwaga 1:
Podstawiając \( h=x-x_0 \), otrzymujemy powyższą granicę w następującej postaci:
\( f^{\prime} (x_0)=\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}. \)
Zauważmy, że w tym zapisie \( h \) oznacza przyrost argumentu. Ta postać czasem jest wygodniejsza przy obliczaniu pochodnej wprost z definicji.
Przykład 1:
Niech \( s=s(t) \) będzie funkcją drogi przebytej \( s \) w czasie \( t \), gdzie \( t\in (T_1,T_2) \). Niech \( t_0, t\in (T_1,T_2) \), \( \Delta t=t-t_0 \). Zatem \( s^{\prime}(t_0)=\lim\limits_{\Delta t\to 0}\frac{s(t_0+\Delta t)-s(t_0)}{\Delta t} \) (jeżeli granica istnieje i jest właściwa) jest prędkością chwilową w chwili \( t_0 \).
Przykład 2:
Korzystając z
, obliczmy pochodną funkcji \( f(x)=x^2 \) w punkcie \( x_0=2 \) oraz w dowolnym punkcie \( x_0\in\mathbb{R} \).
Pochodna funkcji \( f \) w punkcie \( x_0=2 \):
\( \begin{aligned} f^{\prime} (2)&=\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\lim\limits_{h\to 0}\frac{(2+h)^2-2^2}{h}=\lim\limits_{h\to 0}\frac{4+4h+h^2-4}{h}=\\&=\lim\limits_{h\to 0}\frac{h(4+h)}{h}=\lim\limits_{h\to 0}(4+h)=4.\end{aligned} \)
Pochodna funkcji \( f \) w dowolnie ustalonym punkcie \( x_0 \):
\( \begin{aligned} f^{\prime} (x_0)&=\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\lim\limits_{h\to 0}\frac{(x_0+h)^2-x_0^2}{h}=\\&=\lim\limits_{h\to 0}\frac{x_0^2+2x_0h+h^2-x_0^2}{h}=\lim\limits_{h\to 0}\frac{h(2x_0+h)}{h}=\\& =\lim\limits_{h\to 0}(2x_0+h)=2x_0.\end{aligned} \)
Przykład 3:
Obliczmy pochodną funkcji \( g(x)=e^x \) w dowolnym punkcie \( x_0\in\mathbb{R} \).
\( g^{\prime} (x_0)=\lim\limits_{h\to 0}\frac{g(x_0+h)-g(x_0)}{h}=\lim\limits_{h\to 0}\frac{e^{x_0+h}-e^{x_0}}{h}=\lim\limits_{h\to 0}\frac{e^{x_0}(e^h-1)}{h}= \)
(Wykonujemy podstawienie \( t=e^h-1, \) zatem \( t+1=e^h \) i \( h=\ln (t+1) \) oraz \( t=e^h-1\to 0 \) przy \( h\to 0 \).)
\( =\lim\limits_{t\to 0}\frac{e^{x_0}t}{\ln(t+1)}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{e^{x_0}}{\frac{1}{t}\ln(t+1)}=\lim\limits_{t\to 0}\frac{e^{x_0}}{\ln(t+1)^{\frac{1}{t}}}=\frac{e^{x_0}}{\ln e}=e^{x_0}. \)
Obliczmy pochodną funkcji \( k(x)=|x-3| \) w punkcie \( x_0=3 \).
\( k^{\prime} (3)=\lim\limits_{h\to 0}\frac{k(3+h)-k(3)}{h}=\lim\limits_{h\to 0}\frac{|3+h-3|-|3-3|}{h}=\lim\limits_{h\to 0}\frac{|h|}{h}. \)
Z teorii granicy funkcji wiemy, że ta granica (obustronna) nie istnieje, ponieważ
\( \lim\limits_{h\to 0^{-}}\frac{|h|}{h}=\lim\limits_{h\to 0^{-}}\frac{-h}{h}=-1 \)
oraz
\( \lim\limits_{h\to 0^{+}}\frac{|h|}{h}=\lim\limits_{h\to 0^{+}}\frac{h}{h}=1. \)
Skoro powyższa granica nie istnieje, to również pochodna funkcji \( k \) w punkcie \( x_0=3 \) nie istnieje.
Pochodna funkcji w punkcie jest granicą (obustronną). Oprócz granicy (obustronnej) funkcji rozważamy również granice jednostronne funkcji. W związku z tym, definiujemy również pochodne jednostronne funkcji w punkcie \( x_0 \).
Definicja 3: Pochodna lewostronna funkcji w punkcie
Niech \( x_0\in \mathbb{R} \) oraz funkcja \( f \) będzie określona w otoczeniu \( O(x_0^{-}) \).
Pochodną lewostronną (właściwą) funkcji \( f \) w punkcie \( x_0 \) , którą oznaczamy przez \( f^{\prime}_{-} (x_0) \), nazywamy granicę właściwą
\( f^{\prime}_{-} (x_0)=\lim\limits_{x\to x_0^-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim\limits_{h\to 0^-}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}. \)
Definicja 4: Pochodna prawostronna funkcji w punkcie
Niech \( x_0\in \mathbb{R} \) oraz funkcja \( f \) będzie określona w otoczeniu \( O(x_0^{+}) \).
Pochodną prawostronną (właściwą) funkcji \( f \) w punkcie \( x_0 \) , którą oznaczamy przez \( f^{\prime}_{+} (x_0) \), nazywamy granicę właściwą
\( f^{\prime}_{+} (x_0)=\lim\limits_{x\to x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim\limits_{h\to 0^+}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}. \)
Przykład 5:
Wróćmy do
: pokazaliśmy, że pochodna funkcji \( k(x)=|x-3| \) w punkcie \( x_0=3 \) nie istnieje. Obliczmy pochodne jednostronne funkcji \( k \) w punkcie \( x_0=3 \):
\( \begin{aligned}k^{\prime}_{-} (3)&=\lim\limits_{h\to 0^{-}}\frac{k(3+h)-k(3)}{h}=\lim\limits_{h\to 0^{-}}\frac{|3+h-3|-|3-3|}{h}=\lim\limits_{h\to 0^{-}}\frac{|h|}{h}=\\& =\lim\limits_{h\to 0^{-}}\frac{-h}{h}=-1,\end{aligned} \)
\( \begin{aligned}k^{\prime}_{+} (3)&=\lim\limits_{h\to 0^{+}}\frac{k(3+h)-k(3)}{h}=\lim\limits_{h\to 0^{+}}\frac{|3+h-3|-|3-3|}{h}=\lim\limits_{h\to 0^{+}}\frac{|h|}{h}=\\& =\lim\limits_{h\to 0^{+}}\frac{h}{h}=1.\end{aligned} \)
Zatem funkcja \( k \) nie ma pochodnej w punkcie \( x_0=3 \), ale ma pochodne jednostronne w tym punkcie, które są różne.
Twierdzenie 1: Warunek konieczny i wystarczający istnienia pochodnej funkcji w punkcie
Niech \( x_0\in \mathbb{R} \) oraz funkcja \( f \) będzie określona w otoczeniu \( O(x_0) \).
Funkcja \( f \) ma pochodną w punkcie \( x_0 \) wtedy i tylko wtedy, gdy \( f^{\prime}_-(x_0)=f^{\prime}_+(x_0). \)
Jeżeli pochodne jednostronne w punkcie \( x_0 \) są równe, to ich wspólna wartość jest równa pochodnej (obustronnej) w punkcie \( x_0 \).
Przyjrzyjmy się jeszcze twierdzeniu o pochodnej funkcji odwrotnej w punkcie \( x_0 \) i zobaczmy zastosowanie tego twierdzenia do obliczenia pochodnej funkcji arcus sinus w dowolnie zadanym punkcie \( x_0\in (-1,1) \).
Jeżeli funkcja \( f \) jest ciągła i ściśle monotoniczna w otoczeniu \( O(x_0) \) i ma pochodną właściwą \( f^{\prime}(x_0)
\neq 0 \),
to
\( (f^{-1})^{\prime}(y_0)=\frac{1}{f^{\prime}(x_0)}, \)
gdzie \( y_0=f(x_0) \), czyli \( x_0=f^{-1}(y_0) \).
Przykład 6:
Niech \( x_0\in (-1,1) \). Obliczmy pochodną funkcji \( \arcsin \) w punkcie \( x_0 \), jeżeli wiadomo, że \( (\sin x)^{\prime}=\cos x \) dla dowolnego \( x\in \mathbb{R} \).
Funkcja \( \arcsin \) określona w przedziale \( (-1,1) \) jest funkcją odwrotną do funkcji \( \sin \) zawężonej do przedziału \( (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}) \). Zauważmy, że funkcja \( \sin|_{(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})} \) jest ciągła i silnie rosnąca w przedziale \( (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}) \) oraz jej pochodna istnieje i jest różna od zera dla każdego \( x\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}) \), bo \( \cos x \gt 0 \) dla każdego \( x\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}) \). Zatem założenia
są spełnione. Na mocy
istnieje pochodną funkcji \( \arcsin \) w punkcie \( x_0 \) i wynosi
\( (\arcsin x_0)^{\prime}=\frac{1}{\cos y_0},\quad\text{ gdzie }y_0=\arcsin x_0, \)
stąd pamiętając, że \( \cos y_0\gt 0 \), bo \( y_0\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}) \), otrzymujemy
\( (\arcsin x_0)^{\prime}=\frac{1}{\cos y_0}=\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2 (y_0)}}=\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2 (\arcsin x)}}= \)
Z własności funkcji odwrotnej wiemy, że \( \sin(\arcsin x)=x \) dla każdego \( x\in[ -1, 1] \), więc
\( =\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}. \)
Jeżeli mówimy o pochodnej funkcji w punkcie \( x_0 \), to mówimy o pochodnej właściwej funkcji w punkcie \( x_0 \), ale możemy również zdefiniować rzadziej rozważaną pochodną niewłaściwą funkcji w punkcie \( x_0 \).
Definicja 5: Pochodna niewłaściwa funkcji w punkcie
Niech \( x_0\in \mathbb{R} \) oraz funkcja \( f \) będzie określona i ciągła w otoczeniu \( O(x_0) \).
Mówimy, że
funkcja \( f \) ma pochodną niewłaściwą w punkcie \( x_0 \) , gdy
\( \lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=-\infty\quad\text{ lub }\quad \lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=+\infty. \)
Fakt, że funkcja ma pochodną niewłaściwą w punkcie \( x_0 \) zapisujemy:
\( f^{\prime}(x_0)=-\infty\quad\text{ lub }\quad f^{\prime}(x_0)=+\infty. \)
Definiuje się również jednostronne pochodne niewłaściwe funkcji \( f \) w punkcie \( x_0 \).
Definicja 6: Pochodna niewłaściwa lewostronna funkcji w punkcie
Niech \( x_0\in \mathbb{R} \) oraz funkcja \( f \) będzie określona i ciągła w otoczeniu \( O(x_0^-) \).
Mówimy, że
funkcja \( f \) ma pochodną niewłaściwą lewostronną w punkcie \( x_0 \) , gdy
\( \lim\limits_{x\to x_0^-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=-\infty\quad\text{ lub }\quad \lim\limits_{x\to x_0^-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=+\infty, \)
co zapisujemy: \( f^{\prime}_-(x_0)=-\infty \) lub \( f^{\prime}_-(x_0)=+\infty \).
Definicja 7: Pochodna niewłaściwa prawostronna funkcji w punkcie
Niech \( x_0\in \mathbb{R} \) oraz funkcja \( f \) będzie określona i ciągła w otoczeniu \( O(x_0^+) \).
Mówimy, że
funkcja \( f \) ma pochodną niewłaściwą prawostronną w punkcie \( x_0 \) , gdy
\( \lim\limits_{x\to x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=-\infty\quad\text{ lub }\quad \lim\limits_{x\to x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=+\infty, \)
co zapisujemy: \( f^{\prime}_+(x_0)=-\infty \) lub \( f^{\prime}_+(x_0)=+\infty \).
